考研数学公式，
把高等数学玩出花来，老黄给大家玩一个高等数学的魔术。将一套两个不定积分公式，不断拓展，最后得到它们的终极形式。如果你有数学天赋和爱好，一定会觉得很好玩的。
正整数幂函数与正弦或余弦的积的不定积分公式，指的是如下的积分公式：(公式太复杂，只能用图片形式展示，下同)
如果我们将积分变量x换元，变成x+b，就可以得到两个拓展后的公式如下：
这种拓展当然是相当简单的。我们从简单到复杂，才符合人类认识的一般过程嘛。尽管简单，但自作聪明的人，比如老黄这样的人，就很容易搞错。因此，老黄一开始把这两个公式错写成如下形式：
然而错有错着，这两个被老黄错认的公式，却是成立的。在《老黄学高数》系列学习视频第271讲中有详细的证明。并且通过例题学习，又发现了新的拓展公式如下：
事实上，公式(7)(8)和公式(5)(6)是统一的，不知道你发现了没有。把积分变量从x化为x+a，即dx=d(x+a)，x+b看作x+a+(b-a)，它不就是妥妥公式(5)(6)的形式了吗？能够看明白这一点的人，才有可能学好高等数学哦。
通过以上的发现，勾起了老黄探究的热情，因此老黄又继续探究出两对公式，如下：
这是幂函数底数的x有系数p的形式。当然，这里的p不等于0. 同样的，也有三角函数的角度中，x有系数q的形式如下：
这里的q也不等于0. 否则就改变了问题的本质。然后把公式(9)(10)和公式(11)(12)综合起来，就得到了正整数幂函数与正弦或余弦的积的不定积分公式的终极形式如下：
你能感受到推导过程中的奇妙之处吗？下面做两道例题：
例：求下列不定积分：
(1)∫(5x-2)^4*sin(3x+4)dx; (2)∫(6x+3)^3*cos(2x-1)dx.
其实就是认清公式中的系数，就可以了，其中(1)n=4, p=5, a=-2, q=3, b=4. (2)n=3, p=6, a=3, q=2, b=-1，代入公式，就直接可以得到结果了。可以展开公式，也可以不展开公式，老黄把它们都展开，目的是为了检验结果是否正确。检验过程还是相当解压的，有兴趣可以自己试一试。
最后是一道练习。
练习：求不定积分：∫(1/2-x/3)^13*cos(1/3-x/2)dx.
这道题可以用至少三种方法解决，如下：
你要看懂三种解法的内涵，它们是不一样的。解法1先将原不定积分化成习惯的形式，什么是习惯的形式？就是p,q都是正数的形式。解法2是直接运用公式，不管p,q的符号性质，照代公式就是了。解法3有一步换元，换成积分变量是-x的形式，得到的不定积分中，p,q又变成了都是正数的形式。不知道你能看明白吗？
学习数学是一件非常有趣的事情，希望并欢迎你来和老黄一块学习！
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